Alpha und Beta

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Alpha und Beta

Alpha bezieht sich auf den Teil einer Rendite, der auf die Fähigkeiten des Portfoliomanagers zurückzuführen ist (Residualrendite). Warwick (2000) definiert Alpha als:

“The Term alpha ( $\alpha$ ) refers to that portion of an investor’s return that is due to the skills of an investment manager, rather that the returns of the overall market.”¹

Diese Definition ist für den Rahmen der vorliegenden Arbeit zweckmäßig und ausreichend. Eine weitere umfassendere Definition von Grinold und Kahn (1995):

“Looking forward (ex-ante), alpha is a forecast of residual return. Looking backward (ex-post), alpha is the average of the realized residual returns.”²

Alpha wird generiert, wenn ein Portfolio bei gleichem Risiko die Rendite einer vergleichbaren Benchmark übertrifft. Auch wird Alpha generiert, wenn ein Portfolio die gleiche Rendite wie die Benchmark erzielt, aber ein geringeres Risiko aufweist.³ Beispielsweise erzielt ein Portfoliomanager, der in deutsche Standardwerte investiert und sich am DAX orientiert, eine Rendite von 12 Prozent. Der DAX erzielte im selben Zeitraum nur eine Rendite von 10 Prozent. Dem Fondsmanager ist es somit gelungen einen Mehrwert (Alpha) von 2 Prozent zu erzielen.

Die folgende Darstellung basiert auf Ausführungen von Tran (2006).⁴ Die Bezeichnungen Alpha und Beta gehen auf die Regressionsanalyse zurück, in der die Beziehung einer abhängigen und einer unabhängigen Variablen festgestellt werden kann.⁵

$y = \alpha + \beta x$

(2.1)

Die Unterscheidung zwischen der unabhängigen Rendite (Residualrendite) und der vom Markt (Benchmark) abhängigen geht auf das Single-Index-Modell von Sharpe (1963) zurück. Hierbei wird von einem linearen Zusammenhang der Rendite einer Aktie oder eines Aktien-Portfolios und dem Markt-Index ausgegangen. Darauf aufbauend definiert Sharpe (1964) im CAPM die erwartete Rendite als Summe des risikolosen Zinses und der Marktrendite multipliziert mit einem Faktor.

In Anlehnung an Gleichung (2.1) kann die erwartete Rendite eines Portfolios nach dem CAPM folgendermaßen ausgedrückt werden:

$\bar{R}_i = r_f + \beta_i(\bar{R}_M - r_f)$

(2.2)

mit:	$\bar{R}_i$	$=$ Erwartete Rendite des Portfolios $i$
	$r_f$	$=$ Zinssatz einer risikolosen Anlage
	$\beta_i$	$=$ Betafaktor des Portfolios $i$
	$\bar{R}_M$	$=$ Erwartete Benchmarkrendite

Dabei steht $\bar{R}_i$ für die Rendite einer Aktie oder eines Aktien-Portfolios $i$ , die sich aus dem risikolosen Zins und dem Produkt von Risikoprämie ( $\bar{R}_M - r_f$ ) und Betafaktor ( $\beta_i$ ) der Aktie oder eine Aktien-Portfolios, zusammensetzt. Dabei hat sich die Verwendung des griechischen Buchstaben erst in den 1970er Jahren etabliert und wurde seitdem auch von Sharpe so übernommen.⁶ Der risikolose Zins bezieht sich beispielsweise auf die Rendite von Geldmarktsätzen oder Staatsanleihen.

Das Beta kann hierbei jeden Wert annehmen und zeigt, inwieweit das Risiko eines Portfolios vom Marktgeschehen abhängig ist.

$\beta_i = \frac{Cov_{i,M}}{\sigma^2_M}$

(2.3)

mit:	$Cov_{i,M}$	$=$ Kovarianz des Portfolio $i$ und der Benchmark
	$\sigma^2_M$	$=$ Varianz der Benchmark

Ein Beta von 0 würde bedeuten, dass die erwarteten Renditen in keinem Zusammenhang zum Marktrisiko stehen, während ein Beta von 1 dem Risiko des Marktes entspricht. Je höher das Beta, desto stärker sind die Renditen vom Markt abhängig. Ein niedriges Beta deutet hingegen auf ein defensives Portfolio hin, das zu einem geringeren Anteil von Marktschwankungen beeinflusst wird. Ein negatives Beta zeigt, dass sich das Wertpapier oder das Portfolio entgegengesetzt zum Markt verhält. Die Ermittlung des Beta-Faktors erfolgt mittels historischer Renditen der Benchmark und des Portfolios mittels Regressionsanalyse.

Für den Fall, dass die realisierte Rendite ( $\bar{R}_P$ ) eines Portfolios von der erwarteten Rendite ( $\bar{R}_i$ ) abweicht, hat das Portfolio eine Unter- oder Überrendite (Alpha) erzielt. Entsprechend kann Gleichung (2.2) erweitert werden:

$\bar{R}_P = \alpha_P + r_f + \beta_P(\bar{R}_M - r_f)$

(2.4)

mit:	$\bar{R}_P$	$=$ tatsächliche Portfoliorendite
	$\alpha_P$	$=$ erzielte Überrendite

Das Alpha gibt an wie viel Rendite ein Portfoliomanager erzielt, wenn der zugehörige Markt (Benchmark) eine Rendite von null hätte. Hierfür ist eine superiore Leistung notwendig und daher wird Alpha auch synonym als Begriff für die superiore Fähigkeit des Portfoliomanagers verwendet.⁷

Gleichung (2.5) zeigt unter Berücksichtigung der Gleichungen (2.4) und (2.2) Alpha als Differenz zwischen der erzielten Rendite ( $\bar{R}_P$ ) und der nach dem CAPM erwarteten Rendite ( $\bar{R}_i$ ):

$\alpha_P = \bar{R}_P - \bar{R}_i$

(2.5)

Ausformuliert erhält man das Alpha wie von Jensen (1967) dargestellt:

$\alpha_P = \bar{R}_P - r_f - \beta_i(\bar{R}_M - r_f)$

(2.6)

1 Warwick (2000), Searching for Alpha – The Quest for Exceptional Investment Performance, New York, NY: John Wiley & Sons, S. 3. ↩
2 Grinold/Kahn (1995), Active Portfolio Management: Quantitative Theory and Applications, New York, NY: McGraw-Hill, S. 89. ↩
3 Vgl. Warwick (2000), S. 15. ↩
4 Vgl. Tran (2006), Evaluating Hedge Fund Performance, Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, S. 51. ↩
5 Vgl. Schneeweis (1999), Alpha, Alpha, Whose got the Alpha?, Working Paper, Oktober 1999, University of Massachusetts, Amherst, Massachusetts S. 1f. ↩
6 Vgl. Bernstein (1992), Capital Ideas – The Improbable Origins of Modern Wall Street, Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, S. 189. ↩
7 Vgl. Tran (2006), S. 52. ↩